Home

নবম দশম শ্রেণীর গণিত অনুশীলনী ৩.১ সমাধান

Exercise 3.1 – Algebraic Identities

Class 9 (IX‑X) Mathematics — সম্পূর্ণ ধাপে ধাপে সমাধান।

1. Find the square with the help of the formulae:

(1) \( (2a + 3b)^2 \)
\[ (2a+3b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2 \] উত্তর: \(4a^2 + 12ab + 9b^2\)

(2) \( \left(x^2 + \dfrac{2}{y^2}\right)^2 \)
\[ \left(x^2 + \frac{2}{y^2}\right)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)\left(\frac{2}{y^2}\right) + \left(\frac{2}{y^2}\right)^2 = x^4 + \frac{4x^2}{y^2} + \frac{4}{y^4} \] উত্তর: \(x^4 + \dfrac{4x^2}{y^2} + \dfrac{4}{y^4}\)

(3) \( (4y - 5x)^2 \)
\[ (4y - 5x)^2 = (4y)^2 - 2(4y)(5x) + (5x)^2 = 16y^2 - 40xy + 25x^2 \] উত্তর: \(16y^2 - 40xy + 25x^2\)

(4) \( (5x^2 - y)^2 \)
\[ (5x^2 - y)^2 = (5x^2)^2 - 2(5x^2)(y) + y^2 = 25x^4 - 10x^2y + y^2 \] উত্তর: \(25x^4 - 10x^2y + y^2\)

(5) \( (3b - 5c - 2a)^2 \)
\[ (3b)^2 + (-5c)^2 + (-2a)^2 + 2(3b)(-5c) + 2(-5c)(-2a) + 2(-2a)(3b) \] \[ = 9b^2 + 25c^2 + 4a^2 - 30bc + 20ac - 12ab \] উত্তর: \(4a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 12ab - 30bc + 20ac\)

(6) \( (ax - by - cz)^2 \)
\[ (ax)^2 + (-by)^2 + (-cz)^2 + 2(ax)(-by) + 2(-by)(-cz) + 2(-cz)(ax) \] \[ = a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 - 2abxy + 2bcyz - 2acxz \] উত্তর: \(a^2x^2 + b^2y^2 + c^2z^2 - 2abxy + 2bcyz - 2acxz\)

(7) \( (2a + 3x - 2y - 5z)^2 \)
\[ (2a+3x)^2 + (-2y-5z)^2 + 2(2a+3x)(-2y-5z) \] \[ = (4a^2 + 12ax + 9x^2) + (4y^2 + 20yz + 25z^2) - 2(4ay + 10az + 6xy + 15xz) \] \[ = 4a^2 + 9x^2 + 4y^2 + 25z^2 + 12ax - 8ay - 20az - 12xy - 30xz + 20yz \] উত্তর: \(4a^2 + 9x^2 + 4y^2 + 25z^2 + 12ax - 8ay - 20az - 12xy - 30xz + 20yz\)

(8) \( (1007)^2 \)
\[ (1000+7)^2 = 1000^2 + 2(1000)(7) + 7^2 = 1000000 + 14000 + 49 = 1014049 \] উত্তর: \(1014049\)

2. Simplify:

(1) \( (7p + 3q - 5r)^2 - 2(7p + 3q - 5r)(8p - 4q - 5r) + (8p - 4q - 5r)^2 \)
ধরি, \(a = 7p + 3q - 5r\) এবং \(b = 8p - 4q - 5r\)। তাহলে এটি \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)।
\[ a - b = (7p + 3q - 5r) - (8p - 4q - 5r) = -p + 7q \] \[ (-p + 7q)^2 = p^2 - 14pq + 49q^2 \] উত্তর: \(p^2 - 14pq + 49q^2\)

(2) \( (2m + 3n - p)^2 + (2m - 3n + p)^2 - 2(2m + 3n - p)(2m - 3n + p) \)
ধরি, \(a = 2m + 3n - p\) এবং \(b = 2m - 3n + p\)। তাহলে এটি \(a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2\)।
\[ a - b = (2m + 3n - p) - (2m - 3n + p) = 6n - 2p \] \[ (6n - 2p)^2 = 36n^2 - 24np + 4p^2 \] উত্তর: \(36n^2 - 24np + 4p^2\)

(3) \( 6.35 \times 6.35 + 2 \times 6.35 \times 3.65 + 3.65 \times 3.65 \)
ধরি, \(a = 6.35,\; b = 3.65\)। এটি \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)।
\[ (6.35 + 3.65)^2 = (10)^2 = 100 \] উত্তর: \(100\)

(4) \( \dfrac{2345 \times 2345 - 759 \times 759}{2345 - 759} \)
ধরি, \(a = 2345,\; b = 759\)। তাহলে:
\[ \frac{a^2 - b^2}{a-b} = \frac{(a-b)(a+b)}{a-b} = a+b \] \[ 2345 + 759 = 3104 \] উত্তর: \(3104\)

3. যদি \( a - b = 4 \) এবং \( ab = 60 \) হয়, তবে \( a + b \)-এর মান কত?

\[ (a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab = 4^2 + 4(60) = 16 + 240 = 256 \] \[ a+b = \pm 16 \] উত্তর: \(\pm 16\)

4. যদি \( a + b = 9m \) এবং \( ab = 18m^2 \) হয়, তবে \( a - b \)-এর মান কত?

\[ (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = (9m)^2 - 4(18m^2) = 81m^2 - 72m^2 = 9m^2 \] \[ a-b = \pm 3m \] উত্তর: \(\pm 3m\)

5. যদি \( x - \dfrac{1}{x} = 4 \) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( x^4 + \dfrac{1}{x^4} = 322 \)

\[ \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 4^2 \implies x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 16 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 18 \] \[ \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 = 18^2 \implies x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 324 \implies x^4 + \frac{1}{x^4} = 322 \] সুতরাং প্রমাণিত।

6. যদি \( 2x + \dfrac{2}{x} = 3 \) হয়, তবে \( x^2 + \dfrac{1}{x^2} \)-এর মান কত?

\[ x + \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \] \[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \implies x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = \frac{9}{4} \] \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{9}{4} - 2 = \frac{1}{4} \] উত্তর: \(\frac{1}{4}\)

7. যদি \( a + \dfrac{1}{a} = 2 \) হয়, তবে দেখাও যে, \( a^2 + \dfrac{1}{a^2} = a^4 + \dfrac{1}{a^4} \)

\[ a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 4 \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = 2 \] \[ a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 4 \implies a^4 + \frac{1}{a^4} = 2 \] যেহেতু উভয়ের মানই \(2\), তাই: \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = a^4 + \frac{1}{a^4} \] সুতরাং দেখানো হলো।

8. যদি \( a + b = \sqrt{7} \) এবং \( a - b = \sqrt{5} \) হয়, তবে প্রমাণ কর যে, \( 8ab(a^2 + b^2) = 24 \)

\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 7 \quad \text{...(i)} \] \[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 5 \quad \text{...(ii)} \] (ii) কে (i) থেকে বিয়োগ করি: \[ 4ab = 2 \implies ab = \frac{1}{2} \] (i) ও (ii) যোগ করি: \[ 2(a^2 + b^2) = 12 \implies a^2 + b^2 = 6 \] এখন বসাই: \[ 8ab(a^2+b^2) = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 = 4 \cdot 6 = 24 \] সুতরাং প্রমাণিত।

9. যদি \( a + b + c = 9 \) এবং \( ab + bc + ca = 31 \) হয়, তবে \( a^2 + b^2 + c^2 \)-এর মান কত?

\[ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \] \[ 9^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(31) \implies 81 = a^2+b^2+c^2 + 62 \] \[ a^2+b^2+c^2 = 81 - 62 = 19 \] উত্তর: \(19\)

10. যদি \( a^2 + b^2 + c^2 = 9 \) এবং \( ab + bc + ca = 8 \) হয়, তবে \( (a + b + c)^2 \)-এর মান কত?

\[ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 9 + 2(8) = 9 + 16 = 25 \] উত্তর: \(25\)

11. যদি \( a + b + c = 6 \) এবং \( a^2 + b^2 + c^2 = 14 \) হয়, তবে \( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \)-এর মান কত?

প্রথমে \(ab+bc+ca\) বের করি: \[ (a+b+c)^2 = 36 \implies 14 + 2(ab+bc+ca) = 36 \implies ab+bc+ca = 11 \] এখন নির্ণেয় রাশিটি বিস্তৃত করি: \[ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \] \[ = 2(14) - 2(11) = 28 - 22 = 6 \] উত্তর: \(6\)

12. যদি \( x = 3,\; y = 4,\; z = 5 \) হয়, তবে \( 9x^2 + 16y^2 + 4z^2 - 24xy - 16yz + 12zx \)-এর মান কত?

রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ: \[ 9x^2 + 16y^2 + 4z^2 - 24xy - 16yz + 12zx = (3x - 4y + 2z)^2 \] মান বসাই: \[ (3(3) - 4(4) + 2(5))^2 = (9 - 16 + 10)^2 = (3)^2 = 9 \] উত্তর: \(9\)

13. \( (a + 2b)(3a + 2c) \)-কে দুইটি বর্গের অন্তরফল (difference of two squares) আকারে প্রকাশ কর।

আমরা জানি, \( X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y) \)। \[ X = \frac{(a+2b) + (3a+2c)}{2} = \frac{4a + 2b + 2c}{2} = 2a + b + c \] \[ Y = \frac{(3a+2c) - (a+2b)}{2} = \frac{2a + 2c - 2b}{2} = a - b + c \] সুতরাং, \[ (a+2b)(3a+2c) = (2a + b + c)^2 - (a - b + c)^2 \] উত্তর: \((2a+b+c)^2 - (a-b+c)^2\)

14. \( x^2 + 10x + 24 \)-কে দুইটি বর্গের অন্তরফল (difference of two squares) আকারে প্রকাশ কর।

\[ x^2 + 10x + 24 = (x^2 + 10x + 25) - 1 = (x+5)^2 - 1^2 \] উত্তর: \((x+5)^2 - 1^2\)

15. যদি \( a^4 + a^2b^2 + b^4 = 8 \) এবং \( a^2 + ab + b^2 = 4 \) হয়, তবে মান নির্ণয় কর: (1) \( a^2 + b^2 \), (2) \( ab \)।

আমরা জানি, \[ a^4 + a^2b^2 + b^4 = (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) \] মান বসিয়ে পাই: \[ 4 \times (a^2 - ab + b^2) = 8 \implies a^2 - ab + b^2 = 2 \] (1) \(a^2 + b^2\): দুটি সমীকরণ যোগ করি: \[ (a^2 + ab + b^2) + (a^2 - ab + b^2) = 4 + 2 \implies 2(a^2+b^2) = 6 \implies a^2+b^2 = 3 \] (2) \(ab\): দুটি সমীকরণ বিয়োগ করি: \[ (a^2 + ab + b^2) - (a^2 - ab + b^2) = 4 - 2 \implies 2ab = 2 \implies ab = 1 \] উত্তর: (1) \(a^2+b^2 = 3\), (2) \(ab = 1\)

✅ Exercise 3.1 – সব প্রশ্নের সমাধান সম্পূর্ণ হয়েছে।